În matematică, inegalitatea triunghiului afirmă că pentru orice triunghi, suma lungimilor oricărei două părți trebuie să fie mai mare sau egală cu lungimea părții rămase.
Această afirmație permite includerea triunghiurilor degenerate, însă unii autori, în special cei care scriu despre geometria elementară, vor exclude această posibilitate, lăsând astfel posibilitatea egalității.
Un triunghi degenerat are vârfuri colineare și zonă zero și deci coincide cu un segment acoperit de două ori (dacă cele trei vârfuri nu sunt egale; în caz contrar, triunghiul degenerează într-un singur punct). Dacă cele trei vârfuri sunt distincte în perechi, acesta are două unghiuri 0 ° și un unghi de 180 °. Dacă două vârfuri sunt egale, acesta are un unghi de 0 ° și doua unghiuri nedefinite.
Dacă a,b și c sunt lungimile laturilor triunghiului, fără o latură mai mare decât z, atunci inegalitatea triunghiului afirmă că, cu egalitate, doar în cazul degenerat al unui triunghi cu suprafață zero.
În geometria euclidiană, pentru triunghiurile drepte, inegalitatea triunghiului este o consecință a teoremei pitagoreene, iar pentru triunghiurile generale, o consecință a legii cosinusilor, deși poate fi dovedită fără aceste teoreme.
În cazul euclidian, egalitatea apare numai dacă triunghiul are un unghi de 180 ° și două unghiuri de 0 °, ceea ce face ca cele trei vârfuri să fie colinare, așa cum se arată în exemplul de jos. Astfel, în geometria euclidiană, cea mai scurtă distanță între două puncte este o linie dreaptă.
În geometria sferică, cea mai scurtă distanță între două puncte este un arc al unui mare cerc, dar inegalitatea triunghiului este menționată cu condiția ca restricția să fie făcută, încât distanța dintre două puncte pe o sferă să fie lungimea unui segment de linie sferică minoră (adică, unul cu unghiul central în [0, π]) cu acele puncte finale.
Inegalitatea triunghiului este o proprietate definitorie a normelor și măsurilor de distanță.
Un triunghi degenerat are vârfuri colineare și zonă zero și deci coincide cu un segment acoperit de două ori (dacă cele trei vârfuri nu sunt egale; în caz contrar, triunghiul degenerează într-un singur punct). Dacă cele trei vârfuri sunt distincte în perechi, acesta are două unghiuri 0 ° și un unghi de 180 °. Dacă două vârfuri sunt egale, acesta are un unghi de 0 ° și doua unghiuri nedefinite.
În cazul euclidian, egalitatea apare numai dacă triunghiul are un unghi de 180 ° și două unghiuri de 0 °, ceea ce face ca cele trei vârfuri să fie colinare, așa cum se arată în exemplul de jos. Astfel, în geometria euclidiană, cea mai scurtă distanță între două puncte este o linie dreaptă.
În geometria sferică, cea mai scurtă distanță între două puncte este un arc al unui mare cerc, dar inegalitatea triunghiului este menționată cu condiția ca restricția să fie făcută, încât distanța dintre două puncte pe o sferă să fie lungimea unui segment de linie sferică minoră (adică, unul cu unghiul central în [0, π]) cu acele puncte finale.
Inegalitatea triunghiului este o proprietate definitorie a normelor și măsurilor de distanță.
