Definitie: Progresia geometrică este o secvență de numere în care fiecare termen este obținut înmulțind termenul anterior cu aceeași valoare constantă (rația).
Calcul Progresie Geometrica:
Calcule cu progresii geometrice. Trebuie să știți primul termen al progresiei (a1), rația (r) dintre termeni și câti termeni doriți să calculați sau suma dorită (S).
Formule Calcul Progresie geometrică
- Calculul unui termen specific (an) într-o progresie geometrică :
Formula pentru a calcula un anumit termen (an) al unei progresii geometrice este:
Formula an = a1 * r^(n-1)
Unde:
- an este al n-lea termen al progresiei.
- a1 este primul termen al progresiei.
- r este rația dintre termeni.
- n este poziția termenului pe care doriți să-l calculați.
Calculul sumei primilor n termeni ai unei progresii geometrice (Sn): Formula pentru a calcula suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este:
Formula Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r) sau Sn=a (r^n-1) /r-1
Unde:
- Sn este suma primilor n termeni ai progresiei.
- a1 este primul termen al progresiei.
- r este rația dintre termeni.
- n este numărul de termeni pe care doriți să-i adunați.
Calculul rației (r) într-o progresie geometrică , dacă cunoașteți a1 și an: Dacă cunoașteți primul termen (a1) și un anumit termen (an) al progresiei geometrice, puteți calcula rația (r) folosind formula:
Formula r = an / a1
Exemple de Calcul Progresie geometrică
Exemple de Calculare pentru o progresie geometrică (PG):
Exemplu pentru calculul unui termen specific (an) într-o PG:
- Primul termen (a1) = 2
- Rația (r) = 3
- Poziția termenului pe care dorim să-l calculăm (n) = 4
Folosind formula an = a1 * r^(n-1):
an = 2 * 3^(4-1) = 2 * 3^3 = 2 * 27 = 54
Deci, al patrulea termen al PG este 54.
Exemplu pentru calculul sumei primilor n termeni ai unei PG (Sn):
- Primul termen (a1) = 2
- Rația (r) = 3
- Numărul de termeni pe care dorim să-i adunăm (n) = 5
Folosind formula Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r):
S5 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = 2 * (1 - 243) / (-2) = (2 * -242) / (-2) = 242
Deci, suma primilor 5 termeni ai PG este 242.
Exemplu pentru calculul rației (r) într-o PG, dacă cunoașteți a1 și an:
- Primul termen (a1) = 4
- Un anumit termen al PG (an) = 16
Folosind formula r = an / a1:
r = 16 / 4 = 4
Deci, rația pentru această PG este 4.
Aplicații practice - Progresie geometrică
Progresiile geometrice (PG) au aplicații practice în domenii precum: știință, matematică, economie și inginerie. Exemple de aplicații practice pentru progresiile geometrice:
Finanțe și investiții: PG sunt folosite pentru a modela creșterea sau descreșterea unei sume de bani în timp în contextul investițiilor sau al creditelor. De exemplu, dobânzile compuse pot fi reprezentate printr-o PG, iar aceasta este folosită pentru a estima cât de mult va crește sau va scădea o investiție sau o datorie în timp.
Tehnologie: Progresiile geometrice pot fi aplicate în domeniul tehnologiei pentru a modela creșterea exponențială a capacității de stocare a datelor, puterea procesorului sau a altor caracteristici tehnologice.
Medicină: În domeniul medical, progresiile geometrice pot fi utilizate pentru a estima rata de creștere a unor boli sau infecții, precum și pentru a prezice necesarul de medicamente sau vaccinuri într-o anumită perioadă de timp.
Matematică și știință: Progresiile geometrice sunt folosite în multe domenii ale matematicii și științelor, inclusiv în analiza numerică, în modelarea creșterii bacteriilor sau a populațiilor animalelor și în alte contexte.
sursa imagine: wikipedia